Session 2:
Faktorisering og kvadratsetningene

Velkommen til andre økt!

Læremålene for økten

  • Kunne å faktorisere tall
  • Kunne faktorisere algebraiske uttrykk
  • Kunne kjenne igjen kvadratsetningene
  • Kunne brukeregler om kvadratsetninger og faktorisering for å faktorisere uttrykk
Denne økten skal vi flytte blikket over på det å gjøre uttrykk foran oss lettere. Dette er et verktøy som kommer godt i bruk når vi har mer kompliserte likninger. Derfor skal vi denne økten finne ut hvordan vi kan bruke faktorisering og kvadratsetninger til å løse oppi slike problemer.
Når du føler at du har nådd læremålene i denne økten, er det bare å gå videre til neste økt.

Del 1: Faktorisering av tall og uttrykk

Faktorisere et tall

Regel: Når vi faktoriserer et tall finner vi faktorer vi kan gange sammen igjen til det tallet.
Faktorisering handler om å ta et tall og splitte det opp i delestykker. Når vi ser på tallet vi skal faktorisere, må vi stille oss spørsmålet; Hvilket gangestykke blir dette tallet?
Når vi først har delt opp tallet i et gangestykke har vi fått oss to nye tall vi må vurdere. Kan jeg splitte opp disse tallene i flere gangestykker? Når du står igjen med et gangestykke med bare primtall er du ferdig å faktorisere.
Her er noen punkter du kan følge;
  • Hvilket gangestykke blir tallet vårt?
  • Se på faktorene, er der gangestykker som blir det tallet?
  • Når vi har en rekke meg primtall er vi ferdige!
Til høyre her ser du hvordan vi faktoriserer et tall.

Faktorisere et uttrykk

Å faktorisere et uttrykk fungerer likt som å faktorisere et tall, bare at her har vi bokstaver i tillegg. Når vi skal løse opp i dette er det vanlig å starte med tallet. Når vi har faktorisert tallet starter vi med bokstavene.
Regel om potenser: En potens har et grunntall (det største tallet) og en eksponent (det lille tallet). Eksponenten forteller oss hvor mange ganger grunntallet blir ganget med seg selv. Det samme gjelder for bokstaver i uttrykk.
Når vi skal løse oppi bokstavene ser vi om der er potenser. Om der er løser vi oppi dem først. Før vi setter gangetegn mellom de forskjellige bokstavene. Da er vi ferdig.
Ta noen minutter og studer eksempelet til venstre. Hva er ulikt og hvordan fungerer det?

Faktorisering av flerleddet-uttrykk

Regel: Vi må finne den fellesfaktoren til leddene i uttrykket vårt. Dette leddet kan vi sette utenfor en parentes.
Ved flerleddet-uttrykk trenger vi å finne fellesfaktoren. For å gjøre dette trenger vi å faktorisere alle leddene i uttrykket. Når dette er gjort ser vi hva som er likt. Hva finnes i begge ledd?
Det som finnes i begge leddene er fellesfaktoren. Denne kan vi sette utenfor parentesen. Det som er igjen setter vi samme igjen. Her er noen punkter en kan følge for å utføre dette.
  • Hva er felles i begge leddene? Det er fellesfaktoren vår.
  • Vi setter det som er fellesfaktorer utenfor parentesen.
  • Resten trekker vi sammen og setter inni parentesen.
  • Vi har gjort det riktig om vi kan gange inn igjen fellesfaktoren, og få detoriginale uttrykket.
Se på eksemplet til høyre. Hva er fellesfaktoren? Om du skulle ganget fellesfaktoren inn igjen, får vi det samme?

Forenkle brøkuttrykk

Nå skal vi ta alt vi har lært så langt, og bruke det i et mer kompleks uttrykk. Her er noen punkter som kan hjelpe deg med å løse slike oppgaver.
  • Vi faktoriserer uttrykkene oppe og nede i brøken etter faktoriseringsreglene.
  • Om der er like uttrykk/tall/bokstaver oppe og nede, kan vi stryke dem bort
  • Trekk sammen det som står igjen av uttrykket
  • Fullfør delestykket om mulig (En brøk er et delestykke)
Ta noen minutter og studer eksempelet til venstre. Hva er ulikt og hvordan fungerer det? Hvordan følger eksempelet punktene?

La oss regne!

Nå skal vi prøve å regne med alt vi har lært så langt.
Tips til videre arbeid: Campus 8-10: Kapittel 28.3 og 28.6 (Rød og svart løype gir mest utbytte)

Del 2: Kvadratsetningene og
forenkling av brøkuttrykk

Første kvadratsetning

Regel: Kvadratsetninger er uttrykk som forteller hva arealet av et kvadrat er når vi ikke vet hele lengden på sidene.
Som regelen forklarer er kvadratsetninger en måte å finne arealet av et kvadrat. Vi bruker kvadratsetninger som er verktøy i oppgaver ligende slutten på del 1. Kvadratsetninger har et mønster med seg som gjør at en kan kjenne dem igjen.
Så, hva er spesielt med den første kvadratsetningen. Parentesene til denne kvadratsetningen har pluss i seg. Og når vi regner den ut har alle leddene pluss mellom seg.
Her er noen punkter på hvordan vi regner ut kvadratsetninger, da uansett hvilken.
  • Vi ganger sammen parentesene
  • Først ganger vi med første leddet-en i den første parentesen.
  • Etterpå ganger vi med andre leddet-en i den første parentesen.
  • Trekker sammen like ledd.
Ta noen øyeblikk og studer eksempelet. Hvordan blir parentesen løst? Hva blir gjort etterpå?

Andre kvadratsetning

Andre kvadratsetning er veldig lik den første. Det kan være disse to som er vanskeligst å skille fra hverandre når de er utregnet.
Så, hva er spesielt med den første kvadratsetningen. Parentesene til denne kvadratsetningen har minus i seg. Og når vi regner den ut har alle leddene pluss mellom seg.
Ta noen øyeblikk og studer eksempelet. Hvordan blir parentesen løst? Hva blir gjort etterpå?

Tredje kvadratsetning eller konjugatsetningen

Regel: Tredje kvadratsetning/Konjugatsetningen har ingen geometrisk framvisning. Vi grupperer den sammen med andre kvadratsetninger fordi utrekningen har et mønster hver gang vi gjør den. På samme måte som de andre.
Første og andre kvadratsetning kan grafisk vises som et kvadrat med like parenteser på hver side. Det kan ikke den tredje. Den blir likevel gruppert sammen med de andre for den har et mønster uansett hvilke tall/bokstaver vi erstatter a og b med.
Dette er også den kvadratsetningen som er lettes å skille fra de andre. Når den er utregnet har den bare to ledd, og som parentes har den både en med minus og en med pluss.
Ta noen minutter og studer eksempelet til venstre. Hva er ulikt og hvordan fungerer det?

La oss regne!

Nå skal vi prøve å regne med alt vi har lært så langt.
Tips til videre arbeid: Campus 8-10: Kapittel 28.7 (Rød og svart løype gir mestutbytte)

Gå fra utregnet kvadratsetning til parentes

Når vi skal bruke kvadratsetningene som er verktøy i uttrykk vil det være en fordel å kunne gjøre om mellom parentes-versjonen og den utregnet. Vi har til nå gått fra parentes til utregnet, nå skal vi prøve andre veien.
Når vi skal gjøre om fra utregnet til parentes må vi finne ut hva som er første og andre leddet. Når vi regnet ut parentesene tidligere la du kanskje merke til at det første leddet i den utregnet versjonen var satt sammen av det første leddet ganget med seg selv.
Det siste leddet i den utregnet versjonen er til forskjell satt sammen av det andre leddet. Så om vi finner kvadratroten av disse kan vi finne ut hva som skal stå i parentesen.
Her er noen punkter du kan følge for å løse slike oppgaver:
  • Hvilken kvadratsetning er det?
  • Vi vet at første leddet er laget av første leddet i parentesen. Hva er kvadratroten av leddet?
  • Vi vet at andre leddet er laget av andre leddet i parentesen. Hva er kvadratroten av leddet?
  • Vi setter det vi har funnet ut inn i parentesen

La oss regne!

Nå skal vi prøve å regne med alt vi har lært så langt.
Tips til videre arbeid: Campus 8-10: Kapittel 28.7 (Rød og svart løype gir mest utbytte)

Forenkle mer komplekse uttrykk

Da har vi kommet til endes på økten, og nå skal vi bruke alt vi har lært til å løse komplekse uttrykk. For å løse slike uttrykk er det viktig å ta deg litt tid å studere det før du starter.
Er der kvadratsetninger i uttrykket? Om der er, hvilken?
For å kunne forenkle slike uttrykk kan det være nyttig å ta det steg for steg, så her er noen punkter som er gode å følge.
  • Er der kvadratsetning i uttrykket, i så fall hvilken?
  • Omgjør kvadratsetningen til parentes
  • Faktoriser andre uttrykk eller tall
  • Om der er like uttrykk/tall/bokstaver oppe og nede, kan vi stryke dem bort
  • Trekk sammen det som står igjen av uttrykket.
  • Fullfør delestykket om mulig (En brøk er et delestykke)
Ta noen minutter og studer eksempelet til venstre. Hvordan følger den punktene over?

La oss regne!

Nå skal vi prøve å regne med alt vi har lært så langt.
Tips til videre arbeid: Campus 8-10: Kapittel 29.2 og 29.3 (Rød og svart løype gir mest utbytte)

Godt jobba!

Da er vi ferdig med andre økt

Om du forsto temaene vi har jobbet i denne økten er det bare å gå videre til neste. Om noe fremdeles er uklart, logg deg gjerne inn på Campus Inkrement og se forelesningen til temaet du ikke forstår.