Session 4:
Lineære funksjoner og brøkfunksjoner

Velkommen til fjerde økt!

Læremålene for økten

  • Vite hva en lineære funksjon er, og hva vi bruker den til.
  • Kunne finne stigningsledd og konstantledd på en graf
  • Kunne gjøre tekst om til funksjoner
  • Vite hva en brøkfunksjon er, og hva vi bruker den til.
I denne økten skal vi starte arbeidet vårt med funksjoner. Økten handler om lineære funksjoner og brøkfunksjoner. Vi skal se på hva som kjennertegner dem, hvordan vi kan bruke grafer og tekster til å lage dem.

Del 1: Lineære funksjoner

Hva er lineære funksjoner?

Ordet lineære betyr i det fleste tilfeller en formel som går i en rett linje. Noe som betyr at grafene til en lineære funksjon går i rett linje, om den går nedover eller oppover.
Vi har to ulike versjoner av en lineære funksjon. Den vi kommer til å møte på mest i denne leksjonen er funksjonen skrevet på formen; f(x) = ax + b. Du ser et eksempel av den til høyre under lineære funksjoner.
Denne funksjonen har et stigningstall og et konstantledd. Om vi lager en graf av den vil den krysse y-aksen enten over eller under orgio (0,0).
Den andre typen lineære funksjon har fått navnet proposjonal funksjon. Det betyr at den fra origo øker like mye hver gang. Tenk deg at du skal kjøpe deg en bolle til 5 kr. En bolle koster 5 kr, to boller 10 kr og tre boller 15 kr. For hver gang du legger til en bolle øker summen med 5.
Proporsjonale funksjoner har bare et stigningsledd, og går alltid gjennom origo (0,0).
Eksempel på en graf av en lineære funksjon
Eksempel på en graf av en proposjonal funksjon
Stigningstall merket i rødt

Finne stigningstallet på en graf

Regel: Stigningstallet er tallet som står sammen med x-en i en funksjon. Den forteller hvor mye y-en øker med for hver gang vi øker x-en med 1.
Så hva betyr det at stigningstallet forteller hvor mye y-en øker med for hver gang x-en øker med 1?
Tenk deg at du skal kjøpe en bolle til 5 kr og ei brus til 10 kr. 10 + 5 = 15. Men hva om du kjøper to boller? To boller blir 10 kr, så da blir svaret 10 + 10 = 20. Kjøpe summen vår øker med 5 fordi stigningstallet her er 5.
Når vi skal finne stigningstallet må vi først finne et punkt vi lett kan lese av. Ofte er det lett å se hvor grafen krysser y-aksen. Når vi har dette på plass går vi 1 ut til høyre. Videre går vi enten opp eller ned for å finne grafen igjen. Lengden du må reise for å finne grafen igjen blir stigningstallet ditt.
Ta noen minutter og studer eksempelet til venstre. Hvordan er har stigningstallet blitt funnet her?

Finne konstantleddet på en graf

Regel: Konstantleddet er leddet i en funksjon som aldri endrer seg. Konstantleddet forteller oss hvor grafen krysser y-aksen.
Kontantleddet er leddet i en funksjon som ikke endrer seg når vi f.eks. øker antallet x-er.
En praktisk måte å se på konstantleddet er mobilabonnent. En må betale en fast månedsum for å ha det. Dette blir konstantleddet vårt. Stigningstallet vårt er summen det koster for hver ekstra GB av data.  
Så hvordan finner vi konstantleddet på en graf?  
  • Finn ut hvor funksjonen krysser y-aksen
  • Hva er y-verdien til punktet?
  • Konstantleddet vårt er y-verdien
Se på eksemplet til høyre. Hvordan følger eksempelet punktene overfor?
Kontantleddet merket i rødt

La oss regne!

Nå skal vi prøve å regne med alt vi har lært så langt.
Tips til videre arbeid: Campus 8-10: Kapittel 31.1 og 31.2 (Rød og svart løype gir mest utbytte)

Del 2: Linære funksjoner og brøkfunksjoner

Topunktsformelen

Regel: Topunktsformelen krever at vi finner topunkt på grafen vi kan bruke. Når vi følger formelen finner vi stigningstallet til grafen
Det er ikke alltid vi kan lett gå en til høyre for å finne stigningstallet på en graf. Derfor trenger vi et verktøy til for å få dette til. Der kommer topunktsformelen inn. Dette er en av matteformlene en har nødt til å pugge da den ikke har en praktisk forklaring.
OBS: x1 og y1 er x- og y-verdien i første punktet.
x2 og y2 er x- og y-verdien i andre punktet.

Eksempel

I dette eksempelet kan vi finne to punkter på grafen;
‍
  • Punkt 1: (5, 400)
  • Punkt 2: (45, 2400)
Med denne informasjonen kan vi sette inn informasjonen i formelen vår. Når vi regner ut stykket finner vi ut at stigningstallet til denne funksjonen er 50.
Om vi skal finne ut hva kontantleddet er med denne informasjonen kan vi ta et av punktene våre. Når x er 5 skal vi få 400. Så om vi finner ut hva leddet med stigningstallet blir kan vi finne konstantleddet. Stigningstallet er 50, så 50 * 5 er 250.

Så da må konstantleddet være 400 - 250 = 150

La oss regne!

Nå skal vi prøve å regne med alt vi har lært så langt.

Lage en funksjon ut fra tekst

Når vi skal finne funksjonen ut fra teksten foran oss er det viktig å finne ut av to ting; Hva endrer seg og hva er konstant?
Eksempeloppgave: Anna skal velge mellom to mobilabonnent. Firma 1 tilbyr Anna 250 kr i måneden fast og 30 kr ekstra for hver gigabyte med data. Firma 2 tilbyr Anna 50 kr per ekstra gigabyte og 150 kr fast i måneden.
Ta noen minutter og studer eksempelteksten. Hva er det som er konstant og hva endrer seg? Stemmer det med løsningen til venstre?

Verditabell

Regel: En verditabell bruker vi til å finne punkter på grafen til en funksjon. Den er oftest delt i tre kolonner; x-verdier, utregning og y-verdier.
En verditabell kan brukes til flere ting når det kommer til funksjoner. Vi kan finne punkter slik at vi kan tegne en graf, og vi kan finne ut hva et punkt vil være til en praktisk situasjon.
Eksempeloppgave: Anna skal velge mobilabonnent. Firma 1 tilbyr Anna 250 kr i måneden fast og 30 kr ekstra for hver gigabyte med data.

Hvor mye må Anna betale for 5, 10 og 15 GB?

La oss regne!

Nå skal vi prøve å regne med alt vi har lært så langt.

Oppgave 1

Mia skal ta taxi til flyplassen. Når hun ringer taxiselskapet får hun høre at det koster 175 kr å reservere taxien, og 25 kr per km.
Hvordan kan vi beskrive dette med en funksjon, og hvor mye må Mia betale for 12 km?

Oppgave 2

Amanda skal strikke et skjerf. Hun kjøper inn 500 g med garn. På en kveld klarer hun å strikke lenge nok til å bruke
opp 50 g.
Hvordan kan vi beskrive dette med en funksjon, og hvor mye garn har Amanda igjen etter 8 dager?
Tips til videre arbeid: Campus 8-10: Kapittel 31.1 og 31.2 (Rød og svart løype gir mest utbytte)

Hva er en brøkfunksjon?

En brøkfunksjoner er i all hovedsak et delestykke presentert som en brøk. Alle brøker i seg selv er et delestykke hvor brøkstreken fungerer som et deletegn.
En vanlig praktisk situasjon vi møter på denne typen funksjon er når vi skal dele en kostnad på flere.
Eksempeloppgave: En vennegjeng skal dele kostnaden på en bursdagsgaven. Gaven koster 1000 kr.Hvor dyrt blir det om 2 personer er med? Hva med 4 personer?
Les over eksempeloppgaven og ta en titt på hvordan den blir skrevet som funksjon til venstre. Hvorfor tenker du at 1000 blir skrevet på toppen?
I en brøkfunksjon blir det vi skal dele skrevet på toppen fordi regnestykket egentlig leses som 1000 : x, hvor x-en er hvor mange personer.
Her spør det først om 2 personer. Regnestykket blir da 1000 : 2 = 500, og ved 4 personer blir det 1000 : 4 = 250.

La oss regne!

Nå skal vi prøve å regne med alt vi har lært så langt.

Oppgave 1

Klassen til Anna skal holde fredagfest på skolen. De har utgifter på lokaler, anlegg og mat på 20 000 kr.
Hvordan kan vi beskrive dette med en funksjon, og hvor mye må hver betale om det kommer 200 elever på festen?

Oppgave 2

Andreas har invitert med seg en gjeng på hyttetur. Alle utgiftene for turen blir 2400 kr.
Hvordan kan vi beskrive dette med en funksjon, og hvor mye må hver betale om gjengen blir på 6 personer?
Tips til videre arbeid: Campus 8-10: Kapittel 31.3 (Rød og svart løype gir mest utbytte)

Godt jobba!

Da er vi ferdig med fjerde økt

Om du forsto temaene vi har jobbet i denne økten er det bare å gå videre til neste. Om noe fremdeles er uklart, logg deg gjerne inn på Campus Inkrement og se forelesningen til temaet du ikke forstår.

I neste økt trenger du GeoGebra

Link til nettversjonen:

GeoGebra Classisc 6

Link til nedlastning:

GeoGebra Classisc 6