Session 5:
Andregradsfunksjoner og
eksponentielle funksjoner

Velkommen til femte økt!

Læremålene for økten

  • Hva en andregradsfunksjon er
  • Hva en eksponentiell funksjon er
  • Kunne finne skjæringspunkt, topp- og bunnpunkt og nullpunkt
  • Kunne løse tekstoppgaver med funksjoner
I denne økten skal vi jobbe videre med funksjoner. Vi skal bli kjent med to nye typer funksjoner; andregradsfunksjoner og eksponentielle funksjoner. Denne økten krever at vi bruker GeoGebra. Har du ikke det allerede lastet ned kan du finne nettversjonen her; GeoGebra Classic 6

Del 1: GeoGebra og andregradsfunksjoner

Hva er en andregradsfunksjon?

En andregradsfunksjon består av tre ledd. Disse leddene har navn som gjør dem lettere å forstå og huske.
Kvadratisk term: Det første leddet i en andregradsfunksjon er spesiell ved at x-en er opphøyd, noe som betyr at x-en er gangen med seg selv ( x * x). Det er dette leddet som gjør at funksjonen får en buet graf.
Lineær term: Det andre leddet bidrar med å flytte grafen enten til høyre eller venstre, alt etter om leddet er positivt eller negativt. Om vi fjerner den kvadratiske termen hadde grafen blitt en linære funksjon.
Konstant term: Dette er konstanten på slutten. Denne påvirker hvor langt opp eller ned på y-aksen grafen er.
For å skrive en andregradsfunksjon i GeoGebra må du skrive det inn slik;
f(x)= 2x^2 + 4x + 6.
Eksempel på en andregradsfunksjon med positiv kvadratisk term
Eksempel på en andregradsfunksjon med negativ kvadratisk term

Hva er en hjelpelinje?

Regel: Hjelpelinjen er det vi kaller linjen vi bruker for å hjelpe oss med å finne verdien av et punkt vi ikke vet.
Verdien av et punkt vi ikke vet? Så, hva betyr det? Tenk deg at du skal finne ut av hva y-verdien i et punkt er når x er 1. For å finne ut dette trenger du en hjelpelinje.
Hjelpelinjen er der for å skape et skjæringspunkt mellom grafen og linjen. Punktet de møtes i er punktet du er ute etter, og kan fortelle deg hva verdien du mangler er.
Når vi skal lage en linje må vi spørre oss hvilke verdi vet vi? Over nevnte vi hva er y når x er 1. Det betyr at vi vet at x er 1. Så derfor kan vi lage hjelpelinjen x = 1. Dette vil da skape et skjæringspunkt med grafen. Kan du se ca. hvor hjelpelinjen x = 1 krysser linjen i bildet til venstre?
Ta noen minutter og studer eksempelet til venstre. Hvilken verdi vet vi for å lage den vannrette linjen?

Hvordan sette opp en hjelpelinje som prikkede?

1. Høyreklikk på linjen og
velg innstillinger
2. Da får du opp dette vinduet.
Velg fanen som heter stil.
3. Deretter velger du linjestil,
og en av de prikkede stilene.

Finne skjæringspunktet

Regel: Skjæringspunktet er punktet hvor en graf og ei linje krysses eller hvor to grafer krysses.
Når vi har laget en hjelpelinje er neste steget å finne ut hva punkt grafen og linjen krysser i. Da trenger vi et verktøy.
I den andre listen av verktøy på verktøylinjen vår finner vi verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Dette verktøyet hjelpe oss med å finne punktet.
Så hvordan finner vi skjæringspunktet?
  1. Vi aktiverer verktøyet "Skjæring mellom to objekt"
  2. Vi trykker på grafen og linjen vi ønsker å finne skjæringspunktet til.
  3. Vi leser av punktet i listen til venstre.
Se på bildet til høyre. Klarer du å finne verktøyet inne på GeoGebra?
1. Vi aktiverer verktøyet
"Skjæring mellom to objekt"
2. Vi trykker på grafen og linjen vi
ønsker å finne skjæringspunktet til.
3. Vi leser av punktet i listen til venstre.

Klarer du å se hva x-verdien er når y er 30?

Hvordan finne topp- og bunnpunkt?

Regel: Topp- og bunnpunkt er når grafen er på sitt høyeste eller laveste. Noen grafer har en av dem, andre har både topp- og bunnpunkt. Samle betegnelsen for topp- og bunnpunkt er ekstremalpunkt
Når vi skal finne topp- eller bunnpunktet til en graf bruker vi verktøyet ekstremalpunkt. Vi aktiverer verktøyet og trykker på grafen vi ønsker å finne punktet på.

Hvordan finne nullpunkt?

Regel: Nullpunkt er når grafen er på krysser x-aksen. En annen måte å si det på er når grafen har 0 i y-verdi.
Når vi skal finne nullpunkt til en graf bruker vi verktøyet nullpunkt. Vi aktiverer verktøyet og trykker på grafen vi ønsker å finne punktet på.

Del 2: Linære funksjoner og brøkfunksjoner

Tekstoppgave: Andregradsfunksjon

Christian kaster en basketball mot en basketballkurv. En funksjon h som beskriverkastet der basketballen lander i basketballkurven, er gitt ved;
Her viser h(x) hvor mange meter basketballen er over bakken når basketballen er x meter fra Christian, målt langs bakken.
  1. Tegn grafen til funksjonen i GeoGebra
  2. Finn ut hvor høyt over bakken ballen er etter 2 meter
  3. Finn ut hvor langt ballen er fra Christian når den er 3 meter oppi luften?

Løsningsforslag

1. Tegn grafen til funksjonen i GeoGebra

Slik skal GeoGebra se ut når du er ferdig med den første oppgaven.
For å løyse den første oppgaven skriver jeg inn funksjonen i GeoGebra. For å skrive funksjonen inn i GeoGebra skriver jeg:
‍
f(x) = -0.2x^2 + 1.19x + 2
Jeg bruker tegnet ^ for å gjøre x-en opphøyd.
Siden GeoGebra er et engelsk program må vi bruke punktum i stedet for komma i desimaltall. GeoGebra tolker komma som et skillepunkt i en kommando.
For å få navn på grafen min drar jeg navnet fra listen til venstre og ut på grafikkfeltet.

2. Finn ut hvor høyt over bakken ballen er etter 2 meter

Slik skal GeoGebra se ut når du er ferdig med den andre oppgaven.
For å løyse den andre oppgaven trenger vi en hjelpelinje. Jeg vet at "etter 2 meter" betyr at ballen har kommet 2 meter langs bakken. Det er derfor en x-verdi vi vet. Jeg lager derfor hjelpelinjen;
‍
x = 2
Når jeg har hjelpelinjen på plass aktiverer jeg verktøyet "Skjæring mellom to objekt" og finner skjæringspunktet.  Punktet mitt er (2, 3.58). Det betyr at ballen er 3.58 meter oppi luften.
For å få navn på linjen og punktet mitt drar jeg navnet fra listen til venstre og ut på grafikkfeltet. Jeg passer også på å gjøre hjelpelinjen prikkete.

3. Finn ut hvor langt ballen er fra Christian når den er 3 meter oppi luften?

Slik skal GeoGebra se ut når du er ferdig med hele oppgaven.
For å løyse den andre oppgaven trenger vi en hjelpelinje. Jeg vet at "3 meter oppi luften" betyr at ballen har kommet 3 meter opp. Det er derfor en y-verdi vi vet. Jeg lager derfor hjelpelinjen;
‍
y = 3
Når jeg har hjelpelinjen på plass aktiverer jeg verktøyet "Skjæring mellom to objekt" og finner skjæringspunktet.  Jeg får da to punkter. Dette betyr at ballen er 3 meter oppi luften to ganger. En gang på vei opp, og engang på vei ned. Dette skjer når ballen er 1.01 meter og 4.94 meter fra Christian.
For å få navn på linjen og punktet mitt drar jeg navnet fra listen til venstre og ut på grafikkfeltet. Jeg passer også på å gjøre hjelpelinjen prikkete.

Hva er en eksponetiell funksjon?

Regel: En eksponentiell funksjon som øker med den samme gjennom å en potens som øker for hver gang vi legger til en x.
Denne typen funksjon har tre forskjellige deler til seg;
Startverdi: Tallet vi setter inn i stedet for a i denne funksjonen fungerer som en startverdi. Den forteller hvor grafen vil starte oppe eller nede på y-aksen.
Vekstfaktoren: Tallet vi setter inn i stedet for b i denne funksjonen forteller oss hvordan funksjonen øker eller synker. Er vekstfaktoren over 1 øker funksjonen, men er den under 1 synker den.
Eksponenten: I denne funksjonen er x-en en eksponent, og forteller oss hvor mange ganger vi skal gange sammen vekstfaktoren med seg selv.
Ta noen minutter og studer eksempelteksten. Hva er det som er konstant og hva endrer seg? Stemmer det med løsningen til venstre?

Tekstoppgave:
Eksponetiell funksjon?

Bakgrunn: Du har utviklet en ny mobilapp og legger merke til at antallet brukere vokser eksponentielt hver uke. I den første uken etter lanseringen hadde du 100 brukere. Du observerer at antallet brukere øker med 50% hver uke.
Dette kan beskrives med funksjonen;
Hvor x beskriver hvor mange uker etter lansering og f(x) beskriver antall brukere.
  1. Tegn grafen til funksjonen i GeoGebra
  2. Hvor mange brukere har appen etter 4 uker?
  3. Hvor lenge tar det før appen har 350 brukere?

Løsningsforslag

1. Tegn grafen til funksjonen i GeoGebra

Slik skal GeoGebra se ut når du er ferdig med den første oppgaven.
For å løyse den første oppgaven skriver jeg inn funksjonen i GeoGebra. For å skrive funksjonen inn i GeoGebra skriver jeg:
‍
f(x) = 100 * 1.5^x
Jeg bruker tegnet ^ for å gjøre x-en opphøyd. Siden GeoGebra er et engelsk program må vi bruke punktum i stedet for komma i desimaltall. GeoGebra tolker komma som et skillepunkt i en kommando. For å få navn på grafen min drar jeg navnet fra listen til venstre og ut på grafikkfeltet.

2. Hvor mange brukere har appen etter 4 uker?

Slik skal GeoGebra se ut når du er ferdig med den andre oppgaven.
For å løyse den andre oppgaven trenger vi en hjelpelinje. Jeg vet at "etter 2 uker" betyr at det har gått 4 uker. I denne oppgaven er det x som er uker. Det er derfor en x-verdi vi vet. Jeg lager derfor hjelpelinjen;
‍
x = 4
Når jeg har hjelpelinjen på plass aktiverer jeg verktøyet "Skjæring mellom to objekt" og finner skjæringspunktet.  Punktet mitt er (4, 506.25). Dette er snakk om ekte mennesker, så i svaret vårt runder vi av til nærmeste hele tall. App-en har 506 brukere.
For å få navn på linjen og punktet mitt drar jeg navnet fra listen til venstre og ut på grafikkfeltet. Jeg passer også på å gjøre hjelpelinjen prikkete.

3. Finn ut hvor langt ballen er fra Christian når den er 3 meter oppi luften?

Slik skal GeoGebra se ut når du er ferdig med hele oppgaven.
For å løyse den andre oppgaven trenger vi en hjelpelinje. Brukere i denne oppgaven referer til y-aksen. Det er derfor en y-verdi vi vet. Jeg lager derfor hjelpelinjen;
‍
y = 350
Når jeg har hjelpelinjen på plass aktiverer jeg verktøyet "Skjæring mellom to objekt" og finner skjæringspunktet. Da får jeg punktet (3.09, 350). Dette betyr at det tar litt over 3 uker for at appen har 500 brukere.
For å få navn på linjen og punktet mitt drar jeg navnet fra listen til venstre og ut på grafikkfeltet. Jeg passer også på å gjøre hjelpelinjen prikkete.

Godt jobba!

Da er vi ferdig med femte økt

Om du forsto temaene vi har jobbet i denne økten er det bare å gå videre til neste. Om noe fremdeles er uklart, logg deg gjerne inn på Campus Inkrement og se forelesningen til temaet du ikke forstår.
Tips til videre arbeid i Campus Inkrement: 31.4 , 31.5, 31.6 og 31.9

I neste økt trenger du GeoGebra

Link til nettversjonen:

GeoGebra Classisc 6

Link til nedlastning:

GeoGebra Classisc 6